সমীকরণ $x^{2} - 4 x y + y^{2} + 8 x - 2 y - 5 = 0$ কি নির্দেশ করে?

Created: 7 years ago | Updated: 2 weeks ago

Updated: 2 weeks ago

ক

Parabola
খ

Ellipse
গ

circle
ঘ

hyperbola

663

ব্যাখ্যাঃ

একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ দ্বারা একটি কনিক্স (conic) নির্দেশ করা হয়। এই কনিক্সটি কী হবে তা এর ডিসক্রিমিন্যান্ট (discriminant) $B^2 - 4AC$ এর মানের উপর নির্ভর করে।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

$x^2 - 4xy + y^2 + 8x - 2y - 5 = 0$

এই সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:

$A = 1$ (কারণ $x^2$ এর সহগ)
$B = -4$ (কারণ $xy$ এর সহগ)
$C = 1$ (কারণ $y^2$ এর সহগ)

এখন, আমরা ডিসক্রিমিন্যান্ট $B^2 - 4AC$ এর মান নির্ণয় করব:

$B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4(1)(1)$

$B^2 - 4AC = 16 - 4$

$B^2 - 4AC = 12$

কনিক্স শনাক্তকরণের নিয়মাবলী হলো:

যদি $B^2 - 4AC < 0$ হয়, তবে এটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse) নির্দেশ করে।
যদি $B^2 - 4AC = 0$ হয়, তবে এটি একটি পরাবৃত্ত (Parabola) নির্দেশ করে।
যদি $B^2 - 4AC > 0$ হয়, তবে এটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) নির্দেশ করে।

যেহেতু আমরা পেয়েছি $B^2 - 4AC = 12$, যা $0$ এর চেয়ে বড় ($12 > 0$), তাই প্রদত্ত সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) নির্দেশ করে।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল হওয়ার কারণ:

বৃত্ত (Circle): একটি বৃত্তের জন্য $B=0$ এবং $A=C$ হতে হয়। প্রদত্ত সমীকরণে $B = -4 \neq 0$, তাই এটি বৃত্ত নয়।
উপবৃত্ত (Ellipse): উপবৃত্তের জন্য $B^2 - 4AC < 0$ হওয়া প্রয়োজন। কিন্তু এখানে $B^2 - 4AC = 12$, যা $0$ এর চেয়ে বড়।
পরাবৃত্ত (Parabola): পরাবৃত্তের জন্য $B^2 - 4AC = 0$ হওয়া প্রয়োজন। কিন্তু এখানে $B^2 - 4AC = 12$, যা $0$ এর সমান নয়।

Najjar Hossain Raju

1 month ago

MCQ: 145 CQ: 42

Practice

স্থানাংক জ্যামিতি

স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

জ্যামিতির যে শাখায় বিন্দুর অবস্থান সংখ্যা বা স্থানাংকের সাহায্যে নির্ণয় করা হয় তাকে স্থানাংক জ্যামিতি বলে। এখানে জ্যামিতিক চিত্রকে বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করা হয়।

কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা (Cartesian Coordinate System)

দুটি পরস্পর লম্ব সংখ্যারেখার সাহায্যে সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা হয়। অনুভূমিক রেখাকে x-অক্ষ এবং উল্লম্ব রেখাকে y-অক্ষ বলা হয়।

x-অক্ষ ও y-অক্ষের ছেদবিন্দুকে মূলবিন্দু (Origin) বলা হয়।

$O (0, 0)$

স্থানাংক (Coordinates)

সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশকারী সংখ্যাজোড়কে স্থানাংক বলে।

যদি কোনো বিন্দু P এর স্থানাংক হয়:

$P (x, y)$

তবে x কে ভুজ (Abscissa) এবং y কে কোটি (Ordinate) বলা হয়।

চতুর্ভাগ (Quadrants)

x-অক্ষ ও y-অক্ষ সমতলকে চারটি ভাগে বিভক্ত করে, যেগুলোকে চতুর্ভাগ বলে।

১ম চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ধনাত্মক
২য় চতুর্ভাগে x ঋণাত্মক এবং y ধনাত্মক
৩য় চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ঋণাত্মক
৪র্থ চতুর্ভাগে x ধনাত্মক এবং y ঋণাত্মক

দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

যদি দুটি বিন্দু হয়:

$A (x_{1}, y_{1})$

এবং

$B (x_{2}, y_{2})$

তবে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব:

$D = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

মধ্যবিন্দু সূত্র (Midpoint Formula)

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দু:

$M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

বিভাগ সূত্র (Section Formula)

যদি কোনো বিন্দু দুটি বিন্দুকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে বিভাজক বিন্দুর স্থানাংক:

$(\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

তিনটি বিন্দু

$A (x_{1}, y_{1})$

$B (x_{2}, y_{2})$

এবং

$C (x_{3}, y_{3})$

দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

$A = \frac{1}{2} | x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) |$

সরলরেখার ঢাল (Slope of a Straight Line)

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার ঢাল:

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

সরলরেখার সমীকরণ

ঢাল m এবং একটি বিন্দু

$(x_{1}, y_{1})$

দেওয়া থাকলে সরলরেখার সমীকরণ:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

মূলবিন্দুর স্থানাংক সবসময় (0,0)
x-অক্ষের উপর সব বিন্দুর y = 0
y-অক্ষের উপর সব বিন্দুর x = 0
দূরত্ব সূত্র পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে গঠিত
ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা উপরের দিকে ওঠে এবং ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামে

মনে রাখার উপায়

স্থানাংক জ্যামিতিতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলো হলো:

দূরত্ব সূত্র
মধ্যবিন্দু সূত্র
ঢাল সূত্র
সরলরেখার সমীকরণ

Notification

সমীকরণ $x^{2} - 4 x y + y^{2} + 8 x - 2 y - 5 = 0$ কি নির্দেশ করে?

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

সমীকরণ x2-4xy+y2+8x-2y-5=0 কি নির্দেশ করে?

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

সমীকরণ $x^{2} - 4 x y + y^{2} + 8 x - 2 y - 5 = 0$ কি নির্দেশ করে?